350 Глава 5. Высокочастотные микрофильтры

эквивалентную схему можно ввести реэистивные элементы, в которых отражены проводимость металлов, геометрические особенности линии, такие как ее длина и поперечное сечение, потери на излучение и влияние глубины поверхностного слоя. Если предполагается, что в линии нет потерь, элементы резистивности и проводимости пропадают, тем самым значительно упрощая эквивалентную схему.

г

Рис. 5.7. Эквив1и1е|тн и1 схема

линии передач

Основными дифференциальными уравнениями для этой модели являются следующие:

дУ dz

= -{R + jujL)I.

(5.37) (5.38)

Дифференцируя уравнение (5.38) и подставляя результат.в уравнение (3.37), получаем:

Аналогично выводим следующее соотношение:

(5,39)

(5.40)

В уравнениях (5.39) и (5.40) комплексная константа распространения волны имеет следующий вид:

- =[{R + jujL){G + juC)\l. Комплексное число можно всегда выразить как:

1 = а+ jp,

(5.41)

(5.42)

5.S. Моделирование механических фильтров 35J

где а - константа ослабления волны, /3 - константа распространения волны в среде.

Решение рассматриваемых дифференциальных уравнений может быть записано в виде:

Характе)ристический импеданс линии задается выражением:

G + jouC J

(5.43) (5.44)

(5.45)

В случае идеальной линии передач, когда отсутствуют потери, константа распространения волны становится равной:

(5.46)

Характеристический импеданс идеальной линии передач определяется выражением:

Zo =

(5.47)

Фазовая скорость распространения волны в линии равна:

(5.48)

Интерес представляет линия передач конечной длины. Короткозамкнутая линия, равная четверти длины волны, ведет себя как параллельный резонансный контур. Для определения входного импеданса такой линии передач находится отношение уравнений (5.43) и (5.44). Для короткозамкнутой линии входной импеданс описывается уравнением:

. .с Zin = Zotanh7/ = Z[

sinh al cos pi + j cosh al sin /31 cosh al cos /31 + j sinh al sin /31

(5.49)

Применяя граничные условия, получаем, следующие условия резонанса:

/31 =

п - целое четное число.

Соответствующая резонансная частота равна:

(5.50)

(5.51)

352 Глава 5. Высокочастотные микрофильтры

где V - скорость распространения электромагнитных волн в среде между проводниками линии передач. Используя условие резонанса (5.50), можно упростить уравнение (5.49):

cosh а/

An - 0~

sinh al tan al al

(5.52)

При выполнении этих условий можно вывести выражение для добротности резонирующего сегмента. На частотах, близких к резонансной частоте /о, выполняется следующее:

(5.53)

Подставляя это уравнение в выражение (5.49) после тригонометрических преобразований, получаем выражение для входного импеданса:

j,-sinh а/ sin(27rJ /v) + j cosh, al cos{2n6fl/v) - cosh a/ sm{2n6fl/v) + j sinh a/ cos{2n6fl/v)

Zin -

(5.54)

Для малых аргументов тригонометрических функций это выражение принимает вид:

Zin = Zq al + j

.2n6fl\

(5.55)

При сравнении этого выражения с уравнением (5.52) видно, что при равенстве мнимой и действительной части знаменателя в уравнении (5.55), входной импеданс становится равным половине импеданса на резонансной частоте. Таким образом, девиация частоты определяется следующим выражением:

av а/о

Отсюда находится соответствующее значение добротности:

/о /3 -

25f 2а

(5.56)

(5.57)

Далее рассматриваются некоторые системы, используемые в механических фильтрах, и когда необходимо, будут даны ссылки на вышеприведенный материал.

5.2. Моделирование механических фильтров

5.2.2.2. Предположения и теоремы для механического моделирования

Для упрощения процесса моделирования все дальнейшие рассуждения ограничиваются однородными, изотропными, бесконечными, упругими твердыми элементами, в которых нет потерь. Для микросистем эти предположения будут справедливы только при выполнении условия, что размер зерна кристаллического материала гораздо меньше длины волны. Также предполагается, что твердый элемент совершает вибрации относительно своего состояния покоя, при этом амплитуда этих колебаний практически одинакова вдоль всей длины элемента. Из закона упругости следует, что нормальное напряжение аXI возникающее из-за деформации элемента в направлении распространения волны ж, определяется следующим соотношением:

ах = EiSx,

(5.58)

где El - продольный модуль упругости материала, а - относительное изменение толщины элемента (его деформация). Выражение для продольного модуля упругости имеет вид:

Ei= Е

(! + )(!-2 )

(5.59)

где Е - модуль упругости материала, а. ц - коэффициент Пуассона.

Деформация прямоугольного элемента в поперечном направлении превращает его в параллелограмм:

= Тух = Gr.

(5.60)

где Тху и Тух - тангенциальные (касательные) напряжения на элементе, Уху - угол сдвига, а С - модуль сдвига. Для длинных тонких пластин в соответствии с законами Гука и Пуассона можно написать следующие соотношения:

(5.61]

8а 61 а I

(5.62)

где F - приложенная сила, 5 - площадь поперечного сечения, 51/1 - относительное удлинение (сжатие), 6а/а - относительное изменение поперечных размеров.

5.2.2.3. Продольная волна в твердой пласт,ине Рассмотрим длинную тонкую твердую пластину длиной / с одинаковой площадью поперечного сечения S вдоль всей длины, размещенную по направлению оси х. Небольшая деформация в направлении оси X в поперечном сечении приводит к появлению внутренних сил упругости F{x). Результирующее смещение точки х равно (,{х). Из второго закона Ньютона следует, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Тогда дая элемента пластины длиной dx можно записать соотношение:

-F{x + dx) + F{x) = pSdx. После реорганизации членов получим:

дх Pdf

(5.63)

(5.64)

Для выражения силы через перемещение применим закон Гука (уравнение (5.61)):

dx Ох

(5.65)

После дифференцирования по времени и некоторых преобразований получаем:

Тх = ЁИ- -

Для исключения зависимости от времени в уравнениях (5.64) и (5.66) считаем, что вибрации в системе подчиняются синусоидальному закону. Тогда, применив векторную запись, получим следующие выражения:

dF dx dv dx

(5.67) (5.68)

Сравнивая уравнения (5.67) и (5.68) с уравнениями для идеальной линии передач {R = G = 0) (5.37) и (5.38), нельзя не заметить их удивительную схожесть. Теперь, применив электромеханические аналогии, можно построить для пластины эквивалентную схему линии передач.

Уравнение для константы распространения имеет вид:

(5.69)

- (I)-

(5.70)

5.2.2.4- Линия передач на основе натянутой струны В возбужденном состоянии натянутая струна совершает колебания вокруг положения покоя, формируя при этом поперечные стоячие волны. Для упрощения анализа будем рассматривать идеальную гибкую струну с постоянной массой на единицу длины. Также предполагаем, что возбуждающие усилия малы и приложены в направлении, поперечном длине струны. В произвольной точке х, расположенной на струне, поперечная составляющая напряжения равна (рис. 5.8):

Fx = -Tsina -Ttana = -Г

где a - угол между исходным положением струны и касательной к перемещению струны в точке х. После дифференцирования этого выражения по времени, получим:

dvx 1Ь

IdF Т dt

(5.72)

где Vx - поперечная составляющая скорости.

Теперь рассмотрим небольшой элемент струны длиной dx и применим нему второй закон Ньютона. Для поперечных составляющих сил справедливо следующее соотношение:

Fx{z) -Fx{z + dz) = -jdz = pdz

dvx dt

(5.73)

где p - линейная плотность массы струны. После упрощения получим:

(5.74)

dFx{z) ,dvx

Также интересно определить константу и скорость распространения волны для такой эквивалентной линии передач. При помощи уравнения (5.48) находим вьфажение для скорости волны в пластине: