в общем случае при переходе от звеньев низкочастотного прототипа к звеньям ФНЧ или ФВЧ число звеньев, их добротность и сдвиг частоты среза остаются теми же, за исключением того, что в случае ФВЧ сдвиг частоты среза происходит в другую сторону.

При переходе к ПФ или РФ преобразования усложняются, так как каждый множитель 2-го порядка при указанных выше подстановках превращается в полином 4-й степени и его требуется разбить на два множителя 2-й степени. Преобразования могут вестись в следующем порядке [31].

Пусть получены коэффициенты звена 2-го порядка низкочастотного прототипа в виде

Я(р) = -

(4.3)

После подстановки p=Q(-+s) в случае ПФ числитель будет равен

(l/62)s2(l/Q2) а в знаменателе будет уравнение 4-й степени относительно переменной S. Если отыскать корни знаменателя Sm, Sk2, shi и sk2, to полученную после подстановки функцию можно записать в виде

l/bsl/Q

(s-s i)(s-sKi!)(-W(s-s a)

Величины Ski, ski, Sk2 и sk2 можно определить, найдя корни знаменателей в (4.3). Пусть они равны ci+jQk и a-jQu, т. е. знаменатель (4.3) преобразуется как

bi 62

Тогда

к1; к1 =

А + УЛ+Е^ 2

-А+ VA+E

\2Q 2 V 2

+ £2

-a+Ya + e

(4.5)

где

4 = (a2-Q\)-J-4,£ = 2oQ -.

В случае узкополосных полосовых фильтров (Q>1) формулы (4.5) упрощаются:

(4.6)

Таким образом, одно звено 2-го порядка ФНЧ преобразовалось в два звена 2-го порядка ПФ вида

Vi/b.s 1/Q

пф1 (s Skj)(s-s i)

Vl/biS HQ

пф2 (5 s2)(s-sKa)

в случае преобразования в РФ получается передаточная функция вида

Я(8)рф =

где Ski;Sk1 =

(s - Ski) (s - Sri) (s - ка) ( - кг)

(4.8)

[2 (a?+Q2

.2(а2

к А (В -. / + =к) У

- А + Т^Ла + 2

оАм

L 2(а2 + !

L2(o? + Q\)

(4.9)

где А =

(о? - q2) Дсо2 4(0+ Q2)2

1 ;£ =

2 (02 +

; Дсо = Ив - н

(4.10)

В случае узкополосного РФ (<Э>1) формулы упрощаются:

аДсо . f, - Qk \

4x;W.x> К2- 2(о2 + й\) ±Ч 2(о2 + й\);-

В общем случае при преобразовании низкочастотного прототипа в ПФ или РФ звено 1-го порядка ФНЧ превращается в звено 2-го порядка ПФ или РФ, каждое звено 2-го порядка ФНЧ превращается в два звена 2-го порядка ПФ или РФ, причем добротность звена возрастает приблизительно в 2Q раз.

4.2. Расчет элементов схемы фильтрового звена

В результате расчетов коэффициентов фильтровых звеньев можно получить следующие четыре передаточные функции:

для ФНЧ

Я(8) = -

ДЛЯ ФВЧ

Я(8)=

Я(5) = -

(4.111

(4.12);

(4.13)

Ниже приводится расчет элементов схемы звена, если известны а, iQj, Яо и t.

(4.14)

в результате расчетов получаются нормированные сопротивления (г) и емкости (с).

Для перехода к действительным значениям необходимо выбрать нормирующее сопротивление R. Тогда действительные сопротивления {R) определяются по формуле R=tR, а емкости конденсато-

ров по формуле С=-- , где соо р - действительная угловая час-

(Oopi?

тота среза ФНЧ и ФВЧ, либо резонансная частота ПФ или РФ.

Такой способ расчета элементов звеньев особенно удобен, когда требуется рассчитать несколько фильтров, отличающихся частотами настройки, или когда из-за неидеальности свойств ОУ приходится несколько раз пересчитывать сопротивления и емкости.

Фильтровые звенья на трех ОУ. Схемы фильтров приведены на рис. 4.4, расчетные формулы - в табл. 4.3. Методика расчета такова. Задаемся значениями параметров элементов, которые входят в формулы 1 раз. Так, для ФНЧ выбираем гз=Г1=Г2=1, Ci = C2=j

о-с

BЫK -О

Рис. 4.4. Схемы фильтровых звеньев на трех ОУ